Aplicación Ecuaciones cuadráticas

 

Ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo 1: Maximización de Beneficios

Situación: Una empresa produce y vende un determinado producto. La función de beneficio de la empresa está dada por la ecuación cuadrática:

B(x) = -x² + 100x - 2000

Donde:

• B(x) es el beneficio en dólares
• x es la cantidad de unidades producidas y vendidas

Problema: ¿Cuántas unidades debe producir y vender la empresa para maximizar sus beneficios?

Solución:

1. Identificar el vértice: En una función cuadrática de la forma ax² + bx + c, el vértice representa el punto máximo o mínimo de la parábola. En este caso, como el coeficiente de x² es negativo, la parábola abre hacia abajo y el vértice representa el máximo.
2. Hallar la coordenada x del vértice: La fórmula para la coordenada x del vértice es x = -b / 2a. En nuestro caso:
   • x = -100 / (2 * -1) = 50
3. Interpretar el resultado: Para maximizar sus beneficios, la empresa debe producir y vender 50 unidades.

Conclusión: Al producir y vender 50 unidades, la empresa alcanzará el máximo beneficio posible.

Ejemplo 2: Análisis de Costos

Situación: Una fábrica produce cierto tipo de componente electrónico. El costo total de producción, en dólares, está dado por la función:

C(x) = x² - 20x + 600

Donde:

• C(x) es el costo total
• x es la cantidad de componentes producidos

Problema: 

1. ¿Determina la cantidad que minimice el costo total?
2. ¿A partir de qué cantidad de componentes producidos el costo promedio por unidad será menor a 90 dólares?

Solución costo mínimo:

1. Hallar el vértice: x = -b/2a
   x = -(-20)/2(1) = 10
2. Entonces la producción que minimiza los costo son 10 unidades
3. El costo de producir 10 unidades es: 
   C(x) = C(10) = (10)² - 20(10) + 600 = 500
   El costo mínimo total son 500 dólares.

Solución costo promedio:

1. Hallar el costo promedio: El costo promedio por unidad se calcula dividiendo el costo total entre la cantidad de unidades:
   • Cpromedio(x) = C(x) / x = (x² - 20x + 600) / x
2. Plantear la desigualdad: Queremos encontrar los valores de x para los cuales Cpromedio(x) < 90:
   • (x² - 20x + 600) / x < 90
3. Resolver la desigualdad:
   • x² - 20x + 600 < 90x
   • x² - 110x + 600 < 0
4. Factorizar o utilizar la fórmula general: Formula general: a = 1, b = -110 y c = 600
   .
   
   
   
   
   x1 = (110 + 98.5) / 2 = 104.25
   x2 = (110 - 98.5) / 2 = 5.75
   
   Entonces la cantidad a producir para que el costo promedio esté por debajo de 90, es entre 5.75 y 104.25 unidades, en términos prácticos entre 6 y 104 unidades.
   
   
5. Comprobar: Tomaremos los límites 6 y 104.
   El  costo total de producir 6 unidades es:
   C(x) = C(6) = (6)² - 20(6) + 600 = 516
   El costo promedio CP(x) = C(x) / x = 516 / 6 = 86 dólares por unidad
   El  costo total de producir 104 unidades es:
   C(x) = C(104) = (104)² - 20(104) + 600 = 9,336
   El costo promedio CP(x) = C(x) / x = 9336 / 104 = 89.77 dólares por unidad

Conclusión: A partir de 6 unidades producidas y hasta 104 unidades, el costo promedio por unidad será menor a 90 dólares.

¿Qué aprendimos de estos ejemplos?

• Las ecuaciones cuadráticas nos permiten modelar situaciones reales en los negocios, como maximizar beneficios, minimizar costos y analizar puntos de equilibrio.
• El vértice de una parábola representa un punto máximo o mínimo, lo cual es útil para optimizar procesos.
• Las desigualdades cuadráticas nos permiten encontrar rangos de valores para los cuales se cumplen ciertas condiciones.